Sistem Digital 1 "Gerbang Logika dan Aljabar Boolean 1"

      

fatihnuraz08@student.unu.jogja.ac.id

👉 PEGERTIAN ALJABAR BOOLEAN 

Aljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada dasarnya merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada Gerbang Logika ataupun bahasa pemrograman komputer.

 

Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boolean.Aljabar Boolean adalah operasi matematika yang berguna dalam menganalisis gerbang dan sirkuit digital, dengan menggunakan "Hukum Boolean" ini maka akan dapat mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean yang kompleks dengan maksud untuk mengurangi jumlah gerbang logika yang diperlukan.

 

 Oleh sebab itu, Aljabar Boolean adalah sistem matematika yang didasarkan pada logika yang memiliki seperangkat aturan atau hukum yang berguna dalam menentukan, mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean.Variabel yang digunakan dalam Aljabar Boolean hanya memiliki dua kemungkinan yaitu logika "0" dan logika "1" tetapi ekspresi jumlah variabel yang dihasilkan tak terbatas yang semuanya dilabeli secara individual untuk mewakili input ke ekspresi. Sebagai contoh, sebuah variabel A , B, C dll, dihasilkan sebuah ekspresi logis yaitu A + B = C, tetapi setiap variabel hanya dapat berupa 0 atau  1.

                                                            Hukum Aljabar Boolean

Dengan menggunakan Hukum Aljabar Boolean ini, kita dapat mengurangi dan menyederhanakan Ekspresi Boolean yang kompleks sehingga dapat mengurangi jumlah Gerbang Logika yang diperlukan dalam sebuah rangkaian Digital Elektronika.

Dibawah ini terdapat 6 tipe Hukum yang berkaitan dengan Hukum Aljabar Boolean

1.Hukum Komutatif (Commutative Law)

Hukum Komutatif menyatakan bahwa penukaran urutan variabel atau sinyal Input tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh :

Perkalian (Gerbang Logika AND)

X.Y = Y.X

Penjumlahan (Gerbang Logika OR)

X+Y = Y+X

Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat menukarkan posisi variabel atau dalam hal ini adalah sinyal Input, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya.

2.Hukum Asosiatif (Associative Law)

Hukum Asosiatif menyatakan bahwa urutan operasi logika tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh :

Perkalian (Gerbang Logika AND)

W . (X . Y) = (W . X) . Y

Penjumlahan (Gerbang Logika OR)

W + (X + Y) = (W + X) + Y

Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat mengelompokan posisi variabel dalam hal ini adalah urutan operasi logikanya, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya. Tidak peduli yang mana dihitung terlebih dahulu, hasilnya tetap akan sama. Tanda kurung hanya sekedar untuk mempermudah mengingat yang mana akan dihitung terlebih dahulu.

3.Hukum Distributif

Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel-variabel atau sinyal Input dapat disebarkan tempatnya atau diubah urutan sinyalnya, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi Output Keluarannya.

 

Contoh : W x ( X+Y) = WX + XY

4. Hukum AND ( AND Law )

Disebut dengan Hukum AND karena pada hukum ini menggunakan Operasi Logika AND atau perkalian.

Contoh :

a. X.0 = 0

b. X.1 = X

c. X.X = X

d. X.0 = 0

5. Hukum OR (OR Law)

Hukum OR menggunakan Operasi Logika OR atau penjumlahan.

Contoh : 

a. X+0 = X

b. X+1 = 1

c. X+X = X

d. X+X =1

6. Hukum Inversi (Inversion Law)

Hukum Inversi menggunakan Operasi Logika NOT. Hukum Inversi ini menyatakan jika terjadi Inversi ganda (kebalikan 2 kali) maka hasilnya akan kembali ke nilai aslinya Jadi, jika suatu Input (masukan) diinversi (dibalik) maka hasilnya akan berlawanan. Namun jika diinversi sekali lagi, hasilnya akan kembali ke semula. 

  ATURAN PADA ALJABAR BOOLEAN

Identitas	X+0 = X	X.1 =X
Komplemen	X+X’=1	X.X’=0
	X+X=X	X.X =X
	X+1=1	X.0 =X
Involution	(X’)’ = X	(X)’ =X
Commutative	X+Y =Y+X	X.Y =Y.X
Associative	X+(Y+Z)=(X+Y)+Z	X.(YZ)=(X.Y).Z
Distributive	X.(Y+Z)=(X.Y)+(X.Z)	X+(Y.Z) = (X+Y).(X+Z)
De Morgan	(X+Y)’=X’.Y’	(XY)’=X’+Y’
Absorption	X+X.Y=X	X.(X+Y) =X

                                                      👉 PENGERTIAN GERBANG LOGIKA 

Gerbang logika atau gerbang logika adalah suatu entitas dalam elektronika  dan matematika  Boolean  yang mengubah satu atau beberapa masukan logik menjadi sebuah sinyal keluaran logik. Gerbang logika terutama diimplementasikan secara elektronis menggunakan diode atau transsistor  akan tetapi dapat pula dibangun menggunakan susunan komponen-komponen yang memanfaatkan sifat-sifat elektromagnetik (relay). 

Gerbang Logika atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Logic Gate adalah dasar pembentuk Sistem Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa Input (masukan) menjadi sebuah sinyal Output (Keluaran) Logis. Gerbang Logika beroperasi berdasarkan sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 kode simbol yakni 0 dan 1 dengan menggunakan Teori Aljabar Boolean.

                                                       👉7 MACAM GERBANG LOGIKA

1.Gerbang AND 

apabila semua/salah satu input merupakan bilanagan biner (berlogika) 0,maka output akan menjadi 0.sedangkan jika semua input adalah bilangan biner (berlogika) 1,maka output akan berlogika 1.

2.Gerbang OR

apabila semua/salah satu input merupakan bilangan biner (berlogika) 1,maka output akan menjadi 1.sedangkan jika semua input adalah bilangan biner (berlogika ) 0,maka output akan berlogika 0.

3.Gerbang NOT

Fungsi nya sebagai pembalik (inverter).nilai output akan berlawan dengan inputnya.

4.Gerbang NAND

apabila semua/salah satu input bilangan biner (berlogika )  0,maka outputnya akan berlogika 1.sedangkan jika semua input adalah bilangan biner (berlogika ),maka output akan berlogika 0.

5.Gerbang NOR

apabila semua/salah satu input bilangan biner (berlogika )1,maka outputnya akan berlogika 0.sedangkan jika semua input adalah bilangan biner (berlogika) 0,maka outputnya akan berlogika 1.

6.Gerbang X-OR

apabila input berbeda (contoh :inputA=1,input B=0 ) maka outout akan berlogika 1,sedangkan jika input adalah sama maka output akan berlogika 0.

7.Gerbang X-NOR

apabila input berbeda (contoh :input A=1,input B=0) maka outputy akan berlogika 0,sedangkan jika input adalah sama maka output akan berlogika 1.

Timing Diagram

Penyajian logika dengan tabel kebenaran efektif untuk keadaan masukan dan keluaran statis. Jika masukan dan keluaran untai logika bersifat dinamis, penyajian logika akan lebih efektif menggunakan Diagram Pewaktuan.

Gerbang Logika NOR

Gerbang logika NOR merupakan gerbang logika gabungan OR dan NOT, sehingga outputnya merupakan kebalikan dari output gerbang logika OR. Gerbang logika NOR disimbolkan sebagai berikut.

Gambar 1 simbol gerbang logika NOR

Gambar 2 gerbang logika NOR merupakan gabungan gerbang logika OR dengan gerbang logika NOT

Persamaan Boolean untuk gerbang logika NOR dapat dituliskan sebagai berikut.

Sedangkan tabel kebeneran untuk gerbang logika NOR adalah

Logika NOR juga dapat dibuat dengan menggunakan rangkaian saklar. Gambar berikut ini menunjukkan rangkaian saklar yang bekerja berdasarkan logika NOR.

Gambar 3 rangkaian saklar untuk logika NOR

Pada gambar 3 terdapat 2 buah saklar yang dirangkai secara paralel dengan lampu dan sumber tegangan. Terdapat juga satu buah resistor Rc yang dirangkai seri dengan sumber tegangan dan saklar. Ketika kedua saklar dalam kondisi terbuka (logika “0”), maka lampu akan menyala (logika “1”), tetapi ketika salah satu atau kedua saklar ditutup (logika “1”), maka lampu akan padam (logika “0”). Kondisi ini sama dengan logika NOR. Selain dapat dibuat dengan menggunakan rangkaian saklar, logika NOR juga dapat dibuat dengan mengggunakan rangkaian transistor. Gambar berikut ini menunjukkan rangkaian transistor yang bekerja sesuai dengan logika NOR.

Gambar 4 rangkaian transistor yang bekerja sesuai logika NOR

Rangkaian transistor pada gambar 4 bekerja berdasarkan logika NOR. R1 dan R2 berfungsi untuk membatasi arus listrik yang masuk ke kaki basis, R3 Berfungsi untuk membatasi arus yang masuk ke kaki kolektor kedua transistor, R4 adalah optional, boleh digunakan boleh juga tidak digunakan. output diambil dari kaki kolektor kedua transistor T1 dan T2. Pada saat pin input A dan pin input B tidak diberikan tegangan (logika “0”), maka transistor tidak aktif sehingga arus tidak dapat mengalir melewati transistor, akibatnya output Q akan mendapatkan tegangan dari resistor R3 dan bernilai “1”. Ketika pin A atau pin B atau kedua pin A dan B mendapatkan tegangan (logika “1”), maka transistor akan aktif dan mengalirkan arus listrik dari kolektor ke emitor, akibatnya output Q akan turun menjadi “0”. Cara kerja ini sama dengan logika NOR.

Komponen IC NOR antara lain :

1. IC TTL tipe 74LS02, 74LS27, 74LS60
2. IC CMOS tipe CD4001, CD4025, CD4002

Berikut ini beberapa contoh konfigurasi kaki IC gerbang logika NOR.

Gambar 5 konfigurasi pin IC gerbang logika NOR

Konfigurasi pin gerbang logika NOR untuk lebih jelas dan lengkapnya dapat dilihat pada datasheet IC gerbang logika masing-masing.

Gerbang Logika NAND

Gerbang logika NAND merupakan gerbang logika gabungan AND dan NOT, sehingga outputnya merupakan kebalikan dari output gerbang logika AND. Gerbang logika AND disimbolkan sebagai berikut.

Gambar 6 simbol gerbang logika NOR

Gambar 7 gerbang logika NAND merupakan gabungan gerbang logika AND dengan gerbang logika NOT

Persamaan Boolean untuk gerbang logika NAND dapat dituliskan sebagai berikut .

Sedangkan tabel kebeneran untuk gerbang logika NAND adalah

Logika NAND juga dapat dibuat dengan menggunakan rangkaian saklar. Gambar berikut ini menunjukkan rangkaian saklar yang bekerja berdasarkan logika NAND.

Gambar 8 rangkaian saklar untuk logika NAND

Pada gambar 8 terdapat 2 buah saklar yang dirangkai secara seri dan dirangkai secara paralel dengan lampu. Terdapat juga satu buah resistor R1 yang dirangkai seri dengan sumber tegangan dan saklar. Ketika kedua saklar  atau salah satu saklar dalam kondisi terbuka (logika “0”), maka lampu akan menyala (logika “0”), tetapi ketika  kedua saklar ditutup (logika “1”), maka lampu akan padam (logika “0”). Kondisi ini sama dengan logika NAND. Selain dapat dibuat dengan menggunakan rangkaian saklar, logika NAND juga dapat dibuat dengan mengggunakan rangkaian transistor. Gambar berikut ini menunjukkan rangkaian transistor yang bekerja sesuai dengan logika NAND.

Gambar 9 rangkaian transistor yang bekerja sesuai logika NAND

Rangkaian transistor pada gambar 8 bekerja berdasarkan logika NAND. R1 dan R2 berfungsi untuk membatasi arus listrik yang masuk ke kaki basis, R3 Berfungsi untuk membatasi arus yang masuk ke kaki kolektor transistor, R4 adalah optional, boleh digunakan boleh juga tidak digunakan. output diambil dari kaki kolektor kedua transistor T1. Pada saat pin input A dan pin input B tidak diberikan tegangan (logika “0”), maka transistor tidak aktif sehingga arus tidak dapat mengalir melewati transistor, akibatnya output Q akan mendapatkan tegangan dari resistor R3 dan bernilai “1”. Ketika pin A dan pin B mendapatkan tegangan (logika “1”), maka transistor akan aktif dan mengalirkan arus listrik dari kolektor ke emitor, akibatnya output Q akan turun menjadi “0”. Cara kerja ini sama dengan logika NAND.

Komponen IC NAND antara lain :

1. IC TTL tipe 74LS00, 74LS10, 74LS20, 74LS30
2. IC CMOS tipe CD4011, CD4023, CD4012

Berikut ini konfigurasi pin beberapa IC gerbang logika NAND

Gambar 10 konfigurasi pin IC NAND

Konfigurasi pin IC gerbang-gerbang logika dapat dilihat lebih lengkap di datasheet IC tersebut.

     👉  ALASAN GERBANG UNIVERSAL (GERBANG NAND DAN GERBANG NOR )

Dalam perencanaan rangkaian digital, kemungkinan akan diguakan berbagai macam gerbang, sehingga akan digunakan jumlah IC yang cuku banyak. Hal ini di karenakan satu IC hanya terdapat satu macam gate saja. Misalnya saja C 74LS04 terdapat sebuah gate saja, yaitu NOT Gate saja,kita tetap akan memasang satu IC terdapat. Sedangkan yang lainnya tidak akan digunakan (sia-sia).

Gerbang NAND dan NOR dikatakan sebagai Gerbang universal karena, kedua gerbang tersebut dapat digunakan sebagai gerbang dasar (AND, OR, dan NOT) dengan susunan tertentu, tanpa merubah fungsi rangkaian. Hal ini digunakan untuk penghematan IC dalam rangkaian digital

Semua fungsi gerbang logika digital dapat dibangun hanya dengan menggunakan gerbang NAND dan gerbang NOR. Fungsi persamaan aljabar Boole dan rangkaian logika dapat digunakan dengan fungsi-fungsi gerbang NAND dan NOR. Karena gerbang NAND dan gerbang NOR dapat menggantikan semua fungsi gerbang logika digantikan, gerbang NAND dan NOR disebut gerbang universal. Dengan demikian untuk membangun suatu rangkaian logika hanya dibutuhkan gerbang NAND atau NOR apabila gerbang lainnya tidak ada.

a. Gerbang NAND dan NOR Bekerja sebagai NOT.

Apabila suatu masukan input Gerbang NAND dan NOR tersebut akan bekerja sebagai gerbang NOT atau inverter, seperti terlihat pada Gambar 5-9 dengan menggunakan persamaan Boole, yaitu: A F = 5-12 a b c Gambar 5-9. a simbol gerbang NOT, b gerbang NAND bekerja sebagai gerbang NOT, dan c Gerbang NOR bekerja sebagai gerbang NOT

b. Gerbang NAND dan NOR Bekerja sebagai Gerbang AND

Apabila diinginkan gerbang NAND untuk mengganti semua gerbang AND, dapat gigunakan dua buah gerbang NAND yang disusun seperti Gambar 5-10. a b Gambar 5-10. a Simbol gerbang AND dan b gerbang NAND bekerja sebagai gerbang AND Apabila diinginkan gerbang NOR bekerja sebagai gerbang AND, dapat digunakan tiga buah gerbang NOR yang tersusun seperti berikut. Dua buah gerbang NOR yang pertama berfungsi sebagai gerbang inverter, sedangkan gerbang NOR ketiga berfungsi sebagai gerbang NOR yang menghasilkan keluaran yang sama dengan gerbang AND. Gambar 5-11. a Symbol gerbang AND dan b gerbang NOR bekerja sebagai gerbang AND

c. Gerbang NAND dan NOR bekerja sebagai gerbang OR

Apabila gerbang OR akan dibangunkan dengan gerbang universal NOR sebanyak dua buah seperti terlihat pada Gambar 5-12. A F B a 5-13 a b Gambar 5-12. a Simbol gerbang OR dan b gerbang NOR bekerja sebagai gerbang OR. Untuk mengganti gerbang OR dengan menggunakan gerbang NAND dibutuhkan tiga buah gerbang NAND seperti terlihat pada Gambar 5-13 yang keluarannya dengan persamaan F = A+B. Hal ini merupakan keluaran gerbang NAND kombinasi. Gerbang NAND pertama dan kedua bekerja sebagai gerbang inverter dan NAND yang tertakhir sebagai gerbang NAND sehingga keluarannya F = A+B. a b Gambar 5-13. a Simbol gerbang OR dan b Gerbang NAND bekerja sebagai gerbang OR dll.